domingo, 5 de diciembre de 2010
Paralelogramos.
24° Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional. 2007
Sea ABCD un paralelogramo de lados AB, BC, CD, AD, tal que AB > AD y AC/CD= 3 . Sea r la recta simétrica de AD con respecto a AC y sea s la recta simétrica de BC con respecto a BD. Si r y s se cortan en P, calcular el valor de PA/PB.
Certamen Nacional. 2007
Sea ABCD un paralelogramo de lados AB, BC, CD, AD, tal que AB > AD y AC/CD= 3 . Sea r la recta simétrica de AD con respecto a AC y sea s la recta simétrica de BC con respecto a BD. Si r y s se cortan en P, calcular el valor de PA/PB.
Elecciones.
24° Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional. 2007
En un país hay 100 distritos electorales, todos con la misma cantidad de votantes. Cada distrito elige un diputado para el parlamento nacional entre 3 candidatos que representan a los 3 partidos políticos A, B y C . A nivel nacional, los partidos A, B y C tienen la adhesión de exactamente 60%, 30% y 10% de los votantes, pero la distribución de los adherentes por distrito puede ser arbitraria.
Las elecciones son en dos vueltas. Si en un distrito en la primera vuelta uno de los tres candidatos obtiene más de la mitad de los votos, gana la elección y no hay segunda vuelta. Si no, los dos candidatos con más votos compiten en la segunda vuelta, donde de nuevo gana el que obtiene más de la mitad de los votos.
Cada votante vota por el candidato de su partido favorito. Si en la segunda vuelta no está ese candidato, los votantes de A, B y C votan por los candidatos de C, C y B, respectivamente.
¿Cuál es el mínimo número de distritos que gana el partido A? ¿Cuál es el máximo número de distritos que podría ganar C?
ACLARACIÓN: Suponer que en ningún distrito hay un candidato que obtenga exactamente el 50% de los votos, y tampoco candidatos con la misma cantidad de votos.
Certamen Nacional. 2007
En un país hay 100 distritos electorales, todos con la misma cantidad de votantes. Cada distrito elige un diputado para el parlamento nacional entre 3 candidatos que representan a los 3 partidos políticos A, B y C . A nivel nacional, los partidos A, B y C tienen la adhesión de exactamente 60%, 30% y 10% de los votantes, pero la distribución de los adherentes por distrito puede ser arbitraria.
Las elecciones son en dos vueltas. Si en un distrito en la primera vuelta uno de los tres candidatos obtiene más de la mitad de los votos, gana la elección y no hay segunda vuelta. Si no, los dos candidatos con más votos compiten en la segunda vuelta, donde de nuevo gana el que obtiene más de la mitad de los votos.
Cada votante vota por el candidato de su partido favorito. Si en la segunda vuelta no está ese candidato, los votantes de A, B y C votan por los candidatos de C, C y B, respectivamente.
¿Cuál es el mínimo número de distritos que gana el partido A? ¿Cuál es el máximo número de distritos que podría ganar C?
ACLARACIÓN: Suponer que en ningún distrito hay un candidato que obtenga exactamente el 50% de los votos, y tampoco candidatos con la misma cantidad de votos.
La hoja.
24° Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Nacional. 2007
Se tiene una hoja cuadrada de 9x9 cuadriculada en cuadritos de 1x1 . Se corta la hoja con el objetivo de dividirla en cuadritos de 1x1. Cada corte debe ser recto y seguir una línea de la cuadrícula.
Después de efectuar cada corte, está permitido reacomodar convenientemente los pedazos en una pila de modo que en el corte siguiente se divida a varios pedazos simultáneamente (en cada pedazo el corte debe ser recto y seguir una línea de la cuadrícula).
Está prohibido plegar el papel.
¿Cuál es la menor cantidad de cortes que hacen falta para lograr el objetivo?
(Para el número hallado, indicar cuales son los cortes y explicar por qué es imposible lograr el objetivo con menos cortes.)
Certamen Nacional. 2007
Se tiene una hoja cuadrada de 9x9 cuadriculada en cuadritos de 1x1 . Se corta la hoja con el objetivo de dividirla en cuadritos de 1x1. Cada corte debe ser recto y seguir una línea de la cuadrícula.
Después de efectuar cada corte, está permitido reacomodar convenientemente los pedazos en una pila de modo que en el corte siguiente se divida a varios pedazos simultáneamente (en cada pedazo el corte debe ser recto y seguir una línea de la cuadrícula).
Está prohibido plegar el papel.
¿Cuál es la menor cantidad de cortes que hacen falta para lograr el objetivo?
(Para el número hallado, indicar cuales son los cortes y explicar por qué es imposible lograr el objetivo con menos cortes.)
Tres lados
27º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, con AC > BC, y P, Q, R puntos de los lados AB, AC, BC, respectivamente, tales que PQCR es un cuadrado. La circunferencia de centro P y radio PQ corta a la hipotenusa AB en los puntos D y E, con D entre A y P, y E entre B y P. Si PQ = 4 y BE = 1, calcular la longitud del segmento AD
Certamen Zonal
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, con AC > BC, y P, Q, R puntos de los lados AB, AC, BC, respectivamente, tales que PQCR es un cuadrado. La circunferencia de centro P y radio PQ corta a la hipotenusa AB en los puntos D y E, con D entre A y P, y E entre B y P. Si PQ = 4 y BE = 1, calcular la longitud del segmento AD
Dígitos.
27º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal/2010
Hallar un número entero positivo A de 8 dígitos distintos tal que alguno de los números B que se obtiene escribiendo los 8 dígitos de A en otro orden satisfaga que
A + B = 100 000 000.
Certamen Zonal/2010
Hallar un número entero positivo A de 8 dígitos distintos tal que alguno de los números B que se obtiene escribiendo los 8 dígitos de A en otro orden satisfaga que
A + B = 100 000 000.
Las monedas.
27º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Zonal/2010
En una máquina expendedora de café cada vaso de café cuesta $1. La máquina acepta monedas de 1 peso, de 50 centavos, de 25 centavos, de 10 centavos y de 5 centavos, pero no entrega vuelto.
Alex, Beto y Ceci tienen cada uno $1,15; Alex tiene más monedas que Beto y Beto tiene más monedas que Ceci. Además ninguno de los tres puede comprarse un café pagando exactamente $1.
Dar los posibles conjuntos de monedas que tienen cada uno de los tres amigos.
Certamen Zonal/2010
En una máquina expendedora de café cada vaso de café cuesta $1. La máquina acepta monedas de 1 peso, de 50 centavos, de 25 centavos, de 10 centavos y de 5 centavos, pero no entrega vuelto.
Alex, Beto y Ceci tienen cada uno $1,15; Alex tiene más monedas que Beto y Beto tiene más monedas que Ceci. Además ninguno de los tres puede comprarse un café pagando exactamente $1.
Dar los posibles conjuntos de monedas que tienen cada uno de los tres amigos.
La lista.
26º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial/2009
Germán escribe una lista de números naturales. El primer número es el 1; luego escribe los múltiplos de 2, desde 2 hasta 22; a continuación escribe los múltiplos de 3, desde 3 hasta 32; luego los múltiplos de 4, desde 4 hasta 42, y así siguiendo hasta escribir, por primera vez, el 2009. La lista empieza de la siguiente manera:
1, 2, 4, 3, 6, 9, 4, 8, 12, 16, 5, 10 …
Determinar cuántos números tiene la lista de Germán.
Certamen Intercolegial/2009
Germán escribe una lista de números naturales. El primer número es el 1; luego escribe los múltiplos de 2, desde 2 hasta 22; a continuación escribe los múltiplos de 3, desde 3 hasta 32; luego los múltiplos de 4, desde 4 hasta 42, y así siguiendo hasta escribir, por primera vez, el 2009. La lista empieza de la siguiente manera:
1, 2, 4, 3, 6, 9, 4, 8, 12, 16, 5, 10 …
Determinar cuántos números tiene la lista de Germán.
¿Cuántos son?
26º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial/2009
En una reunión de 152 científicos, algunos son matemáticos y los demás son físicos. El promedio de las edades de todos los científicos es de 41 años. El promedio de las edades de los matemáticos es 35 años, y el promedio de las edades de los físicos es 51 años. Determinar cuántos científicos de esta reunión son matemáticos.
Certamen Intercolegial/2009
En una reunión de 152 científicos, algunos son matemáticos y los demás son físicos. El promedio de las edades de todos los científicos es de 41 años. El promedio de las edades de los matemáticos es 35 años, y el promedio de las edades de los físicos es 51 años. Determinar cuántos científicos de esta reunión son matemáticos.
Cuatro lados
26º Olimpíada Matemática Argentina
Certamen Intercolegial/2009
Sea ABCD un cuadrilátero de lados AB, BC, CD y DA tal que ABC =90°. ACD = 90°y BC = CD. Las diagonales AC y BD se cortan en O. Si OAD =110°, calcular BAC.
Certamen Intercolegial/2009
Sea ABCD un cuadrilátero de lados AB, BC, CD y DA tal que ABC =90°. ACD = 90°y BC = CD. Las diagonales AC y BD se cortan en O. Si OAD =110°, calcular BAC.
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